Traversable Klein 'bottle' paths

[gonegahgah]

Cool, that's getting closer Teragon. The varieties t=pi,t=pi/2,t=0,t=-pi/2,t=-pi now work fully.

When t is not one of those five values the radii may still move away from 1.
Here's some more calculated data from your new equations (t=0 left | t=pi/6 right):

Code: Select all

u       v       t       w       x       y       z       r       | u       v       t       w       x       y       z       r
-3.14   -3.14   0.00    -1.00   0.00    0.00    0.00    1.00    | -3.14   -3.14   0.52    -0.87   0.00    0.00    0.50    1.00
-3.14   -2.62   0.00    -0.87   0.00    -0.50   0.00    1.00    | -3.14   -2.62   0.52    -0.75   0.00    -0.18   0.43    0.89
-3.14   -2.09   0.00    -0.50   0.00    -0.87   0.00    1.00    | -3.14   -2.09   0.52    -0.43   0.00    -0.32   0.25    0.59
-3.14   -1.57   0.00    0.00    0.00    -1.00   0.00    1.00    | -3.14   -1.57   0.52    0.00    0.00    -0.37   0.00    0.37
-3.14   -1.05   0.00    0.50    0.00    -0.87   0.00    1.00    | -3.14   -1.05   0.52    0.43    0.00    -0.32   -0.25   0.59
-3.14   -0.52   0.00    0.87    0.00    -0.50   0.00    1.00    | -3.14   -0.52   0.52    0.75    0.00    -0.18   -0.43   0.89
-3.14   0.00    0.00    1.00    0.00    0.00    0.00    1.00    | -3.14   0.00    0.52    0.87    0.00    0.00    -0.50   1.00
-3.14   0.52    0.00    0.87    0.00    0.50    0.00    1.00    | -3.14   0.52    0.52    0.75    0.00    0.18    -0.43   0.89
-3.14   1.05    0.00    0.50    0.00    0.87    0.00    1.00    | -3.14   1.05    0.52    0.43    0.00    0.32    -0.25   0.59
-3.14   1.57    0.00    0.00    0.00    1.00    0.00    1.00    | -3.14   1.57    0.52    0.00    0.00    0.37    0.00    0.37
-3.14   2.09    0.00    -0.50   0.00    0.87    0.00    1.00    | -3.14   2.09    0.52    -0.43   0.00    0.32    0.25    0.59
-3.14   2.62    0.00    -0.87   0.00    0.50    0.00    1.00    | -3.14   2.62    0.52    -0.75   0.00    0.18    0.43    0.89
-3.14   3.14    0.00    -1.00   0.00    0.00    0.00    1.00    | -3.14   3.14    0.52    -0.87   0.00    0.00    0.50    1.00
----------------------------------------------------------------|-------------------------------------------------------------
u       v       t       w       x       y       z       r       | u       v       t       w       x       y       z       r
0.00    -3.14   0.00    -1.00   0.00    0.00    0.00    1.00    | 0.00    -3.14   0.52    -1.37   0.00    0.00    0.00    1.37
0.00    -2.62   0.00    -0.87   0.00    0.00    -0.50   1.00    | 0.00    -2.62   0.52    -1.18   0.00    -0.25   -0.43   1.28
0.00    -2.09   0.00    -0.50   0.00    0.00    -0.87   1.00    | 0.00    -2.09   0.52    -0.68   0.00    -0.43   -0.75   1.10
0.00    -1.57   0.00    0.00    0.00    0.00    -1.00   1.00    | 0.00    -1.57   0.52    0.00    0.00    -0.50   -0.87   1.00
0.00    -1.05   0.00    0.50    0.00    0.00    -0.87   1.00    | 0.00    -1.05   0.52    0.68    0.00    -0.43   -0.75   1.10
0.00    -0.52   0.00    0.87    0.00    0.00    -0.50   1.00    | 0.00    -0.52   0.52    1.18    0.00    -0.25   -0.43   1.28
0.00    0.00    0.00    1.00    0.00    0.00    0.00    1.00    | 0.00    0.00    0.52    1.37    0.00    0.00    0.00    1.37
0.00    0.52    0.00    0.87    0.00    0.00    0.50    1.00    | 0.00    0.52    0.52    1.18    0.00    0.25    0.43    1.28
0.00    1.05    0.00    0.50    0.00    0.00    0.87    1.00    | 0.00    1.05    0.52    0.68    0.00    0.43    0.75    1.10
0.00    1.57    0.00    0.00    0.00    0.00    1.00    1.00    | 0.00    1.57    0.52    0.00    0.00    0.50    0.87    1.00
0.00    2.09    0.00    -0.50   0.00    0.00    0.87    1.00    | 0.00    2.09    0.52    -0.68   0.00    0.43    0.75    1.10
0.00    2.62    0.00    -0.87   0.00    0.00    0.50    1.00    | 0.00    2.62    0.52    -1.18   0.00    0.25    0.43    1.28
0.00    3.14    0.00    -1.00   0.00    0.00    0.00    1.00    | 0.00    3.14    0.52    -1.37   0.00    0.00    0.00    1.37
----------------------------------------------------------------|-------------------------------------------------------------
u       v       t       w       x       y       z       r       | u       v       t       w       x       y       z       r
0.52    -3.14   0.00    -1.00   0.00    0.00    0.00    1.00    | 0.52    -3.14   0.52    -1.35   0.00    0.00    -0.13   1.36
0.52    -2.62   0.00    -0.87   -0.06   -0.11   -0.48   1.00    | 0.52    -2.62   0.52    -1.17   -0.18   -0.31   -0.53   1.33
0.52    -2.09   0.00    -0.50   -0.11   -0.19   -0.84   1.00    | 0.52    -2.09   0.52    -0.67   -0.31   -0.54   -0.79   1.21
0.52    -1.57   0.00    0.00    -0.13   -0.22   -0.97   1.00    | 0.52    -1.57   0.52    0.00    -0.36   -0.63   -0.84   1.11
0.52    -1.05   0.00    0.50    -0.11   -0.19   -0.84   1.00    | 0.52    -1.05   0.52    0.67    -0.31   -0.54   -0.66   1.13
0.52    -0.52   0.00    0.87    -0.06   -0.11   -0.48   1.00    | 0.52    -0.52   0.52    1.17    -0.18   -0.31   -0.31   1.26
0.52    0.00    0.00    1.00    0.00    0.00    0.00    1.00    | 0.52    0.00    0.52    1.35    0.00    0.00    0.13    1.36
0.52    0.52    0.00    0.87    0.06    0.11    0.48    1.00    | 0.52    0.52    0.52    1.17    0.18    0.31    0.53    1.33
0.52    1.05    0.00    0.50    0.11    0.19    0.84    1.00    | 0.52    1.05    0.52    0.67    0.31    0.54    0.79    1.21
0.52    1.57    0.00    0.00    0.13    0.22    0.97    1.00    | 0.52    1.57    0.52    0.00    0.36    0.63    0.84    1.11
0.52    2.09    0.00    -0.50   0.11    0.19    0.84    1.00    | 0.52    2.09    0.52    -0.67   0.31    0.54    0.66    1.13
0.52    2.62    0.00    -0.87   0.06    0.11    0.48    1.00    | 0.52    2.62    0.52    -1.17   0.18    0.31    0.31    1.26
0.52    3.14    0.00    -1.00   0.00    0.00    0.00    1.00    | 0.52    3.14    0.52    -1.35   0.00    0.00    -0.13   1.36
----------------------------------------------------------------|-------------------------------------------------------------
u       v       t       w       x       y       z       r       | u       v       t       w       x       y       z       r
1.05    -3.14   0.00    -1.00   0.00    0.00    0.00    1.00    | 1.05    -3.14   0.52    -1.30   0.00    0.00    -0.25   1.32
1.05    -2.62   0.00    -0.87   -0.22   -0.13   -0.43   1.00    | 1.05    -2.62   0.52    -1.13   -0.40   -0.23   -0.59   1.35
1.05    -2.09   0.00    -0.50   -0.38   -0.22   -0.75   1.00    | 1.05    -2.09   0.52    -0.65   -0.70   -0.40   -0.77   1.29
1.05    -1.57   0.00    0.00    -0.43   -0.25   -0.87   1.00    | 1.05    -1.57   0.52    0.00    -0.81   -0.47   -0.75   1.20
1.05    -1.05   0.00    0.50    -0.38   -0.22   -0.75   1.00    | 1.05    -1.05   0.52    0.65    -0.70   -0.40   -0.52   1.16
1.05    -0.52   0.00    0.87    -0.22   -0.13   -0.43   1.00    | 1.05    -0.52   0.52    1.13    -0.40   -0.23   -0.16   1.23
1.05    0.00    0.00    1.00    0.00    0.00    0.00    1.00    | 1.05    0.00    0.52    1.30    0.00    0.00    0.25    1.32
1.05    0.52    0.00    0.87    0.22    0.13    0.43    1.00    | 1.05    0.52    0.52    1.13    0.40    0.23    0.59    1.35
1.05    1.05    0.00    0.50    0.38    0.22    0.75    1.00    | 1.05    1.05    0.52    0.65    0.70    0.40    0.77    1.29
1.05    1.57    0.00    0.00    0.43    0.25    0.87    1.00    | 1.05    1.57    0.52    0.00    0.81    0.47    0.75    1.20
1.05    2.09    0.00    -0.50   0.38    0.22    0.75    1.00    | 1.05    2.09    0.52    -0.65   0.70    0.40    0.52    1.16
1.05    2.62    0.00    -0.87   0.22    0.13    0.43    1.00    | 1.05    2.62    0.52    -1.13   0.40    0.23    0.16    1.23
1.05    3.14    0.00    -1.00   0.00    0.00    0.00    1.00    | 1.05    3.14    0.52    -1.30   0.00    0.00    -0.25   1.32
----------------------------------------------------------------|-------------------------------------------------------------
u       v       t       w       x       y       z       r       | u       v       t       w       x       y       z       r
1.57    -3.14   0.00    -1.00   0.00    0.00    0.00    1.00    | 1.57    -3.14   0.52    -1.22   0.00    0.00    -0.35   1.27
1.57    -2.62   0.00    -0.87   -0.35   0.00    -0.35   1.00    | 1.57    -2.62   0.52    -1.06   -0.56   0.00    -0.61   1.34
1.57    -2.09   0.00    -0.50   -0.61   0.00    -0.61   1.00    | 1.57    -2.09   0.52    -0.61   -0.96   0.00    -0.71   1.34
1.57    -1.57   0.00    0.00    -0.71   0.00    -0.71   1.00    | 1.57    -1.57   0.52    0.00    -1.11   0.00    -0.61   1.27
1.57    -1.05   0.00    0.50    -0.61   0.00    -0.61   1.00    | 1.57    -1.05   0.52    0.61    -0.96   0.00    -0.35   1.19
1.57    -0.52   0.00    0.87    -0.35   0.00    -0.35   1.00    | 1.57    -0.52   0.52    1.06    -0.56   0.00    0.00    1.19
1.57    0.00    0.00    1.00    0.00    0.00    0.00    1.00    | 1.57    0.00    0.52    1.22    0.00    0.00    0.35    1.27
1.57    0.52    0.00    0.87    0.35    0.00    0.35    1.00    | 1.57    0.52    0.52    1.06    0.56    0.00    0.61    1.34
1.57    1.05    0.00    0.50    0.61    0.00    0.61    1.00    | 1.57    1.05    0.52    0.61    0.96    0.00    0.71    1.34
1.57    1.57    0.00    0.00    0.71    0.00    0.71    1.00    | 1.57    1.57    0.52    0.00    1.11    0.00    0.61    1.27
1.57    2.09    0.00    -0.50   0.61    0.00    0.61    1.00    | 1.57    2.09    0.52    -0.61   0.96    0.00    0.35    1.19
1.57    2.62    0.00    -0.87   0.35    0.00    0.35    1.00    | 1.57    2.62    0.52    -1.06   0.56    0.00    0.00    1.19
1.57    3.14    0.00    -1.00   0.00    0.00    0.00    1.00    | 1.57    3.14    0.52    -1.22   0.00    0.00    -0.35   1.27

Hope that helps? If more example data will assist just let me know.

[Teragon]

Then I don't know how to fix that. I was just hoping that weighting the contributions of the 90° and 0° variety with sin(t) and cos(t) would result in a constant radius, but it obviously doesn't. I'll try to get my software running again to plot both your equations and mine.

[gonegahgah]

Thanks Teragon, I'm looking forward to seeing both of those.

Inspired by your ideas I'm attempting to derive the varieties starting with one based upon a Mobius Strip.
I am finding it a challenge but I'll try to persevere through to something.

[Challenger007]

Then I don't know how to fix that. I was just hoping that weighting the contributions of the 90° and 0° variety with sin(t) and cos(t) would result in a constant radius, but it obviously doesn't. I'll try to get my software running again to plot both your equations and mine.

Perhaps there is a bug in the program? Or did you miscalculate somewhere?

[Teragon]

Perhaps there is a bug in the program? Or did you miscalculate somewhere?

Gonegahgah did the calculation, but I'd rather think, the equations just don't fullfill the condition x²+y²+z²+w² = 1 for R = 0, r = 1.

Have been so busy, finally forgot about checking the code...

[Challenger007]

This is absolutely not surprising, because very often, when solving a complex problem, we forget to double-check the things that we usually do automatically. And often the most mistakes creep into these simple things.