The pattern is obvious. You take one triangle, and make two copies of it below it, and they form a larger triangle. Repeat.
("Below it"? Maybe I should say "south of it", as I will use "up" and "down" for a 3rd dimension.)
Then I tried mod 4. To make it easier visually, I used the following symbols:
0:
1: o
2: .
3: x
The resulting pattern is more interesting, and harder for me to describe (on the large scale, i.e. beyond the fact that each element is the sum of the two elements north of it). Maybe someone else can?
- Code: Select all
o
o o
o . o
o x x o
o . o
o o . . o o
o . x x . o
o x o x x o x o
o . o
o o . . o o
o . o . . o . o
o x x o . . . . o x x o
o . x x . o
o o . . x x x x . . o o
o . x o . x x . o x . o
o x o x o x o x x o x o x o x o
o . o
o o . . o o
o . o . . o . o
o x x o . . . . o x x o
o . o . . o . o
o o . . o o . . . . o o . . o o
o . x x . o . . . . o . x x . o
o x o x x o x o . . . . . . . . o x o x x o x o
o . x x . o
o o . . x x x x . . o o
o . o . . x . x x . x . . o . o
o x x o . . . . x o o x x o o x . . . . o x x o
o . x o . x x . o x . o
o o . . x x o o . . x x x x . . o o x x . . o o
o . x o . x o . x o . x x . o x . o x . o x . o
o x o x o x o x o x o x o x o x x o x o x o x o x o x o x o x o
o . o
o o . . o o
o . o . . o . o
o x x o . . . . o x x o
o . o . . o . o
o o . . o o . . . . o o . . o o
o . x x . o . . . . o . x x . o
o x o x x o x o . . . . . . . . o x o x x o x o
o . o . . o . o
o o . . o o . . . . o o . . o o
o . o . . o . o . . . . o . o . . o . o
o x x o . . . . o x x o . . . . . . . . o x x o . . . . o x x o
o . x x . o . . . . o . x x . o
o o . . x x x x . . o o . . . . . . . . o o . . x x x x . . o o
o . x o . x x . o x . o . . . . . . . . o . x o . x x . o x . o
o x o x o x o x x o x o x o x o . . . . . . . . . . . . . . . . o x o x o x o x x o x o x o x o
o . x x . o
o o . . x x x x . . o o
o . o . . x . x x . x . . o . o
o x x o . . . . x o o x x o o x . . . . o x x o
o . o . . x . x x . x . . o . o
o o . . o o . . . . x x . . x x x x . . x x . . . . o o . . o o
o . x x . o . . . . x . o o . x x . o o . x . . . . o . x x . o
o x o x x o x o . . . . . . . . x o x o o x o x x o x o o x o x . . . . . . . . o x o x x o x o
o . x o . x x . o x . o
o o . . x x o o . . x x x x . . o o x x . . o o
o . o . . x . x o . o . . x . x x . x . . o . o x . x . . o . o
o x x o . . . . x o o x o x x o . . . . x o o x x o o x . . . . o x x o x o o x . . . . o x x o
o . x o . x o . x o . x x . o x . o x . o x . o
o o . . x x o o . . x x o o . . x x o o . . x x x x . . o o x x . . o o x x . . o o x x . . o o
o . x o . x o . x o . x o . x o . x o . x o . x x . o x . o x . o x . o x . o x . o x . o x . o
o x o x o x o x o x o x o x o x o x o x o x o x o x o x o x o x x o x o x o x o x o x o x o x o x o x o x o x o x o x o x o x o
The 1's and 3's make the same shape we saw earlier (with mod 2). Erasing those, and leaving only 2's, makes this shape:
- Code: Select all
o
o
o o
o o
o
o o
o o o o
o o o o
o o
o o o o
o o o o
o
o o
o o o o
o o o o
o o o o
o o o o o o o o
o o o o o o o o
o o o o o o o o
o o
o o o o
o o o o o o o o
o o o o o o o o
o o o o
o o o o o o o o
o o o o o o o o
o
o o
o o o o
o o o o
o o o o
o o o o o o o o
o o o o o o o o
o o o o o o o o
o o o o
o o o o o o o o
o o o o o o o o o o o o
o o o o o o o o o o o o o o o o
o o o o o o o o
o o o o o o o o o o o o o o o o
o o o o o o o o o o o o o o o o
o o o o o o o o o o o o o o o o
o o
o o o o
o o o o o o o o
o o o o o o o o
o o o o o o o o
o o o o o o o o o o o o o o o o
o o o o o o o o o o o o o o o o
o o o o o o o o o o o o o o o o
o o o o
o o o o o o o o
o o o o o o o o o o o o o o o o
o o o o o o o o o o o o o o o o
o o o o o o o o
o o o o o o o o o o o o o o o o
o o o o o o o o o o o o o o o o
After trying mod 8, I decided to focus on the number of factors of 2, i.e. the 2-adic valuation. So 1,3,5,7 mod 8 are equivalent, and 2,6 mod 8 are equivalent. I'll use symbols with the number of branches being the 2-adic valuation, thus:
0: . (odd numbers)
1: − (even numbers, not multiples of 4)
2: v (multiples of 4 but not 8)
3: Y (multiples of 8 but not 16)
4: X (multiples of 16 but not 32)
5: H (multiples of 32 but not 64)
- Code: Select all
.
. .
. − .
. . . .
. v − v .
. . − − . .
. − . v . − .
. . . . . . . .
. Y v Y − Y v Y .
. . v v − − v v . .
. − . Y − v − Y . − .
. . . . − − − − . . . .
. v − v . Y v Y . v − v .
. . − − . . v v . . − − . .
. − . v . − . Y . − . v . − .
. . . . . . . . . . . . . . . .
. X Y X v X Y X − X Y X v X Y X .
. . Y Y v v Y Y − − Y Y v v Y Y . .
. − . X v Y v X − v − X v Y v X . − .
. . . . v v v v − − − − v v v v . . . .
. v − v . X Y X − Y v Y − X Y X . v − v .
. . − − . . Y Y − − v v − − Y Y . . − − . .
. − . v . − . X − v − Y − v − X . − . v . − .
. . . . . . . . − − − − − − − − . . . . . . . .
. Y v Y − Y v Y . X Y X v X Y X . Y v Y − Y v Y .
. . v v − − v v . . Y Y v v Y Y . . v v − − v v . .
. − . Y − v − Y . − . X v Y v X . − . Y − v − Y . − .
. . . . − − − − . . . . v v v v . . . . − − − − . . . .
. v − v . Y v Y . v − v . X Y X . v − v . Y v Y . v − v .
. . − − . . v v . . − − . . Y Y . . − − . . v v . . − − . .
. − . v . − . Y . − . v . − . X . − . v . − . Y . − . v . − .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. H X H Y H X H v H X H Y H X H − H X H Y H X H v H X H Y H X H .
. . X X Y Y X X v v X X Y Y X X − − X X Y Y X X v v X X Y Y X X . .
. − . H Y X Y H v Y v H Y X Y H − v − H Y X Y H v Y v H Y X Y H . − .
. . . . Y Y Y Y v v v v Y Y Y Y − − − − Y Y Y Y v v v v Y Y Y Y . . . .
. v − v . H X H v X Y X v H X H − Y v Y − H X H v X Y X v H X H . v − v .
. . − − . . X X v v Y Y v v X X − − v v − − X X v v Y Y v v X X . . − − . .
. − . v . − . H v Y v X v Y v H − v − Y − v − H v Y v X v Y v H . − . v . − .
. . . . . . . . v v v v v v v v − − − − − − − − v v v v v v v v . . . . . . . .
. Y v Y − Y v Y . H X H Y H X H − X Y X v X Y X − H X H Y H X H . Y v Y − Y v Y .
. . v v − − v v . . X X Y Y X X − − Y Y v v Y Y − − X X Y Y X X . . v v − − v v . .
. − . Y − v − Y . − . H Y X Y H − v − X v Y v X − v − H Y X Y H . − . Y − v − Y . − .
. . . . − − − − . . . . Y Y Y Y − − − − v v v v − − − − Y Y Y Y . . . . − − − − . . . .
. v − v . Y v Y . v − v . H X H − Y v Y − X Y X − Y v Y − H X H . v − v . Y v Y . v − v .
. . − − . . v v . . − − . . X X − − v v − − Y Y − − v v − − X X . . − − . . v v . . − − . .
. − . v . − . Y . − . v . − . H − v − Y − v − X − v − Y − v − H . − . v . − . Y . − . v . − .
. . . . . . . . . . . . . . . . − − − − − − − − − − − − − − − − . . . . . . . . . . . . . . . .
. X Y X v X Y X − X Y X v X Y X . H X H Y H X H v H X H Y H X H . X Y X v X Y X − X Y X v X Y X .
. . Y Y v v Y Y − − Y Y v v Y Y . . X X Y Y X X v v X X Y Y X X . . Y Y v v Y Y − − Y Y v v Y Y . .
. − . X v Y v X − v − X v Y v X . − . H Y X Y H v Y v H Y X Y H . − . X v Y v X − v − X v Y v X . − .
. . . . v v v v − − − − v v v v . . . . Y Y Y Y v v v v Y Y Y Y . . . . v v v v − − − − v v v v . . . .
. v − v . X Y X − Y v Y − X Y X . v − v . H X H v X Y X v H X H . v − v . X Y X − Y v Y − X Y X . v − v .
. . − − . . Y Y − − v v − − Y Y . . − − . . X X v v Y Y v v X X . . − − . . Y Y − − v v − − Y Y . . − − . .
. − . v . − . X − v − Y − v − X . − . v . − . H v Y v X v Y v H . − . v . − . X − v − Y − v − X . − . v . − .
. . . . . . . . − − − − − − − − . . . . . . . . v v v v v v v v . . . . . . . . − − − − − − − − . . . . . . . .
. Y v Y − Y v Y . X Y X v X Y X . Y v Y − Y v Y . H X H Y H X H . Y v Y − Y v Y . X Y X v X Y X . Y v Y − Y v Y .
. . v v − − v v . . Y Y v v Y Y . . v v − − v v . . X X Y Y X X . . v v − − v v . . Y Y v v Y Y . . v v − − v v . .
. − . Y − v − Y . − . X v Y v X . − . Y − v − Y . − . H Y X Y H . − . Y − v − Y . − . X v Y v X . − . Y − v − Y . − .
. . . . − − − − . . . . v v v v . . . . − − − − . . . . Y Y Y Y . . . . − − − − . . . . v v v v . . . . − − − − . . . .
. v − v . Y v Y . v − v . X Y X . v − v . Y v Y . v − v . H X H . v − v . Y v Y . v − v . X Y X . v − v . Y v Y . v − v .
. . − − . . v v . . − − . . Y Y . . − − . . v v . . − − . . X X . . − − . . v v . . − − . . Y Y . . − − . . v v . . − − . .
. − . v . − . Y . − . v . − . X . − . v . − . Y . − . v . − . H . − . v . − . Y . − . v . − . X . − . v . − . Y . − . v . − .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
It reminds me of the Red Rock Valley in HyperRogue, where you climp up or jump down to different elevations.
With the restriction that you can only change elevation (2-adic valuation) by +1 or -1, it appears that you can still go anywhere in Pascal's triangle.